根据 Harry Markowitz 的现代投资组合理论，投资风险被定义为资产收益的波动性，通过收益率的方差（Variance）或标准差（Standard Deviation）来量化：
\(\sigma^2 = E[(R - E[R])^2]\) \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)
其中：
这种基于波动性的风险定义假设投资者是风险厌恶的，即在其他条件相同的情况下，偏好较低的波动。
根据资本资产定价模型（CAPM），总风险（$\sigma_{total}$）可分解为：
\[\sigma_{total}^2 = \sigma_{systematic}^2 + \sigma_{unsystematic}^2\]系统性风险（Systematic Risk）：
非系统性风险（Unsystematic Risk）：
投资组合理论的核心结论是：在风险-收益空间中，存在一个有效前沿，该前沿上的投资组合在给定的风险水平下提供最高的期望收益，或在给定的收益水平下承担最小的风险。
数学上，对于包含 N 个资产的投资组合，其期望收益和方差为：
\(E[R_p] = \sum_{i=1}^{N} w_i E[R_i]\) \(\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} w_i w_j \sigma_{ij} = \sum_{i=1}^{N} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j} w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j\)
其中：
有效前沿可通过优化问题求解： \(\min \sigma_p^2 \quad \text{s.t.} \quad E[R_p] \geq R_{target}\) 或 \(\max E[R_p] \quad \text{s.t.} \quad \sigma_p^2 \leq \sigma_{target}^2\)
分散化的有效性可以通过方差公式直观地理解。假设等权重投资组合，资产收益互不独立且具有相同的相关系数 $\rho$，则：
\[\sigma_p^2 = \frac{\bar{\sigma}^2}{N} + \frac{N-1}{N} \rho \bar{\sigma}^2\]当 $N \to \infty$ 时： \(\lim_{N \to \infty} \sigma_p^2 = \rho \bar{\sigma}^2\)
结论：
根据 CAPM，资产的期望收益仅与其承担的系统性风险（Beta）相关：
\[E[R_i] = R_f + \beta_i (E[R_m] - R_f)\]其中：
推论：在均衡市场中，投资者不会为承担非系统性风险获得补偿，因为这种风险可以通过分散化免费消除。只有系统性风险需要补偿。
凯利公式来源于信息论，用于确定在期望收益为正的博弈中每次应投入的最优资金比例：
\[f^* = \frac{p}{b} - \frac{q}{b} = \frac{bp - q}{b} = \frac{p(b+1) - 1}{b}\]其中：
在连续投资场景下，凯利公式为： \(f^* = \frac{\mu - r_f}{\sigma^2}\)
其中 $\mu$ 为期望收益。
实际应用：
风险平价策略的核心思想是：根据资产对组合风险的贡献，而非市值，分配资金。
对于资产 i 的风险贡献（Marginal Risk Contribution）： \(MRC_i = w_i \times \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i}\)
风险平价要求： \(MRC_1 = MRC_2 = \dots = MRC_N\)
这导致波动率高的资产权重较低，波动率低的资产权重较高。
示例：60/40 股债组合
传统方差（或标准差）对称地衡量上行和下行波动，但投资者通常更关注下行风险。常用的替代指标包括：
1. 半方差（Semi-variance）： \(\sigma_{-}^2 = E[(min(R - E[R], 0))^2]\) 只计算低于均值的收益波动。
2. 下行风险（Downside Risk, DR）： \(DR = \sqrt{\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} min(R_t - R_{target}, 0)^2}\) 其中 $R_{target}$ 可设为无风险利率或目标收益。
3. 最大回撤（Maximum Drawdown, MDD）： \(MDD = \max_{t_1 < t_2} \left( \frac{P_{t_2} - P_{t_1}}{P_{t_1}} \right)\) 衡量从峰值到谷底的最大跌幅。
4. VaR（Value at Risk）与 CVaR：
止损本质上是一个期权（卖出权）的执行。考虑一个简单的百分比止损策略：
设止损比例为 $L$，若价格下跌 $L\%$ 则卖出。这相当于为投资组合购买了一个执行价格为 $(1-L) P_0$ 的美式看跌期权，支付的成本为预期损失。
设资产价格服从几何布朗运动，则触发止损的概率为： \(P(\text{Stop Loss}) = P(\min_{0 \leq t \leq T} \frac{P_t}{P_0} \leq 1-L)\)
在实务中，止损的有效性取决于：
动态止损止损线随价格上涨而提升，锁定利润的同时保留上涨空间：
\[Stop_t = \max(P_t \times (1-L), Stop_{t-1})\]1. 过度自信（Overconfidence）：
2. 损失厌恶（Loss Aversion）：
3. 确认偏差（Confirmation Bias）：
4. 锚定效应（Anchoring）：
投资者的情绪周期常被建模为： \(E_t = \alpha E_{t-1} + \beta R_t + \epsilon_t\)
其中 $E_t$ 为情绪水平，$\alpha$ 为情绪持续系数，$\beta$ 为收益对情绪的影响系数。
在市场极端情绪下（极度贪婪或恐惧），逆向策略往往有效： \(\text{Contrarian Signal} = - \text{Normalized Sentiment}_t\)
风险预算将总风险分配到不同的因子或资产上：
\[Total Risk = \sum_{i=1}^{N} RB_i\]其中 $RB_i$ 为分配给因子 i 的风险预算。
常见分配方式：
约束： \(\sum_{i=1}^{N} w_i = 1\) \(\sigma_p^2 \leq \sigma_{target}^2\)
压力测试模拟极端市场场景下的投资组合表现：
历史场景：
假设场景：
蒙特卡洛模拟： 基于统计分布，模拟大量可能的未来路径，计算组合收益分布： \(\hat{R}_t = \sum_{i=1}^{N} w_i \hat{R}_{i,t}\) 其中 $\hat{R}_{i,t}$ 为资产 i 在路径 t 上的模拟收益。
参考资料：Markowitz (1952), Sharpe (1964), Kelly (1956), MacLean et al. (2011)
| 上一篇：估值方法理论与模型 | 下一篇：行业分析 |